Inter-univerzalni geometer
Internet je eksplodiral. Čez nekaj dni so zgodbo pograbile tudi velike medijske hiše. »Najtežji matematični problem na svetu končno razrešen,« so ekstatično razglašali naslovi hvalospevov Mochizukiju v Telegraphu in New York Timesu. Na priljubljenem spletnem forumu MathOverflow so matematiki iz celega sveta začeli poglobljeno razpravljati o domnevnem dokazu stoletja. Vprašanje téme z največ komentarji je bilo preprosto: Andyja Putmana, profesorja z univerze Rice, je zanimalo, če »lahko nekdo strnjeno poda filozofijo za Mochizukijevim delom in razloži, zakaj naj bi kakorkoli osvetlila vprašanje abc domneve«. S preprostejšimi besedami: »Ne štekam. Ali sploh kdo šteka?«
Radovedneži, ki so na svoje računalnike prenesli datoteke iz Mochizukijeve spletne strani, so naleteli na jezik, ki se je bral kot nekakšna vesoljščina. Prvi članek, naslovljen Inter-univerzalna Teichmüllerjeva teorija, I. del, se začne takole: »Moj cilj je vzpostaviti aritmetično verzijo Teichmüllerjeve teorije za področja števil, opremljenih z eliptičnimi krivuljami, z uporabo teorij pol-grafov anabelioidov, Frobenioidov in etale theta funkcije.« To se ni slišalo kot blebetanje le neukemu laiku, ampak tudi zaprepadeni strokovni skupnosti. Jordan Ellenberg, profesor matematike na univerzi Wisconsin-Madison, se na svojem blogu spominja prvega preleta besedil: »Zdelo se mi je, kot da berem matematični traktat iz daljne prihodnosti.« Še bolj neposreden je Johan de Jong z univerze Columbia: »Ta stvar je zelo, zelo čudna.« Mochizuki je za potrebe svojega dokaza ustvaril toliko novih orodij in združil tako raznolike veje sodobne matematike, da ga ni mogel nihče razumeti. Če ni šlo za blefiranje ali norost, je zapisal nekaj novega, povsem skrivnostnega. Moonu Duchinu z univerze Tufts se je zdelo, »kot da je Mochizuki ustvaril nov matematični svet«.
Vsi strokovnjaki so se zavedali, da bo preteklo kar nekaj časa, preden bo kdorkoli zmožen razumeti Mochizukijevo delo, kaj šele, da bi lahko ustrezno sodil o pravilnosti dokaza. V naslednjih mesecih so se številni vplivni matematiki intenzivno posvetili proučevanju njegovih spisov. Drugi so ob prvih naporih obupali in projekt razglasili za nemogoč. Spet tretji so dogajanje raje opazovali z nevtralne distance. Mochizuki – človek, ki je zatrdil, da je rešil enega izmed največjih matematičnih problemov vseh časov – pa je ostal tiho.
Abc domneva ni star problem – svetu sta jo v osemdesetih predstavila matematika David Masser in Joseph Oesterle –, obenem pa se že vse od njenih prvih formulacij zdi, da zadeva samo jedro matematične znanosti; da skriva osnovne zakonitosti odnosa med seštevanjem in množenjem. Kljub svoji daljnosežnosti je znana predvsem po begajočem kontrastu s svojo navidezno preprostostjo. Začne se z enačbo: a + b = c. Neznanke a, b in c, po katerih domneva nosi ime, imajo določene omejitve. Vse tri morajo biti cela števila, a in b pa ne smeta biti deljivi z istim praštevilom. Poglejmo si primer: če bi bil a 64, kar je enako 2^6, bi bil b lahko vsako število, ki ni potenca praštevila 2 – npr. 81, ki je 3^4. Njun seštevek bi bil tako 145. Ta primer abc enačbe bi se v zapisu s praštevili glasil: 2^6 + 3^4 = 5 x 29. Pri tem in pri drugih primerih abc enačbe lahko opazimo naslednjo zakonitost: veliko praštevil v seštevku skoraj vedno prinese malo praštevil v rezultatu. Obstajajo izjeme (kot npr. pogosto naveden seštevek 3 + 125 = 128, v praštevilih 3 + 5^3 = 2^7), ki pa so izjemno redke. Če ne gre za naključja, temveč za zakonitosti – kot je prepričan Mochizuki –, nam ta enačba, ki je osnovana na lastnostih seštevanih števil, razkriva lastnosti njihovega množenja in s tem gradi kontroverzen most med dvema najosnovnejšima in v principu ločenima podjetjema matematične znanosti: zdi se, da odstira osnovne zakonitosti odnosa med seštevanjem in množenjem. Takšnega mostu v zgodovini matematike ne poznamo in do zdaj ni bilo teorije, ki bi na sorodni ravni povezovala aditivne in multiplikativne lastnosti števil. Posledice domnevnega preboja v dokazovanju abc domneve bi bile zato neznanske. S tem se strinjajo celo skeptiki, kakršen je Peter Sarnak z univerze Princeton, ki se mu dosedanja dokazovanja zdijo precej šibka. »Verjel bom le, ko bo dokaz dokončno potrjen s širokim konsenzom matematične javnosti,« pravi, a dodaja: »Če pa slučajno drži, bo to najmočnejše odkritje našega časa.« Tako močno, da bi v trenutku razrešilo številne legendarne matematične uganke. Iz njega bi bilo med drugim moč izpeljati tudi drugo – preprostejšo – rešitev Fermatovega zadnjega izreka, ki ga je pred dvema desetletjema po 356 letih, odkar je bil problem zastavljen, dokazal Andrew Wiles (in pobral nagrado 100.000 nemških mark, ki je bila obljubljena že leta 1908).
Zaradi svoje preprostosti ima abc domneva še prav posebno mesto v mitologiji sodobne matematike. Lucien Szpiro, profesor z univerze CUNY, ki je leta 2007 javnosti predstavil svoj poskus dokaza, pravi, da je vsak profesionalni matematik vsaj eno noč posvetil razmišljanju o možnih rešitvah problema. Od njegovega spodletelega poskusa, ki je hitro razkril notranje paradokse, pa si – do Mochizukijevega – kljub vsemu nihče ni upal predstaviti nove hipotetične rešitve.
V času desetletne izolacije pred objavo svojih znamenitih člankov je Shinichi Mochizuki razvil strukturo matematičnega jezika, ki jo je ob objavi razumel le sam. V tem jeziku je napisal številne razprave, ki kot reference služijo tudi petstodvanajstim stranem njegovega velikega projekta. Vse te tekste je obdržal zase; v recenzijo jih ni pošiljal niti kolegom niti uglednim matematičnim revijam. Če bi torej želeli vstopno točko v besedila, objavljena avgusta 2012, bi sprva morali prebrati na tisoče strani Mochizukijevega preteklega dela, ki prav tako še nima splošno sprejete vrednosti. Po de Jongovi oceni gre v primeru, da se ga loti vrhunski matematik, vsaj za enoleten projekt. »Niti približno si nočem nakopati tega dela …« pravi de Jong. »Zmešalo bi se mi.«
Začetno navdušenje nad domnevnim odkritjem že takrat svetovno znanega japonskega matematika se je torej kmalu spremenilo v frustracijo, frustracija pa v jezo. Le malo profesorjev si je drznilo neposredno kritizirati teze uglednega kolega, skoraj vsi pa so mu bili pripravljeni očitati, da se ne drži standardov matematične skupnosti. Poleg njegovega zavračanja prošenj strokovnih revij in spletnih forumov jih je najbolj razjezilo dejstvo, da Mochizuki ni bil pripravljen javno predavati o rezultatih svojega odkritja. Opravičeval se je, da je snov pač preveč kompleksna za strnjeno predavanje. Ugledne univerze so vztrajale, da lahko pri njih ostane več tednov, a tudi te privlačne ponudbe je zavrnil. »Vsa razlaga je v člankih,« je pojasnjeval.
Oxfordski profesor Minhyong Kim rad pripoveduje anekdote o svojem prijatelju. Ko sta bila še študenta na Princetonu, se je Mochizuki navdušil nad delom francoskega matematika Alexandra Grothediecka, čigar dela veljajo za nesporne klasike algebrske in aritmetične geometrije. Ta obsežen opus, ki šteje več tisoč strani, sicer tekom svojih karier okvirno spoznajo vsi resni matematiki omenjenih področij, a Mochizukijev pristop je bil drugačen. Knjige je v prostem času za svojo princetonsko študijsko mizico prežvečil od prve do zadnje strani. »Začel je kot bruc,« se spominja Kim, »in končal v dobrih dveh letih.« Kim razume jezo kolegov, a obenem brani prijateljevo samosvojo pot: »Najbolj mučno opravilo v matematiki je branje nepreverjenih tez drugih matematikov. Treba si je priznati, da smo pač preleni za proučevanje tolikšne količine nepreverjenega gradiva. To je vse.« Temu dodaja: »Mochizuki je po drugi strani precej sramežljiva oseba in to je po mojem prepričanju glavni razlog za njegovo zavračanje javnega nastopanja. Obenem je tudi izjemno delaven – čas, ki bi ga zapravil v hotelih in na letalih, bi se mu zdel neumno zapravljen. Raje ga posveti nadaljnjim raziskavam.« Cathy O’Neil, slavna blogerka, takšnega opravičila ne sprejme: »V matematiki ne smeš trditi, da si nekaj dokazal, dokler nisi sposoben razložiti svoje teze. Dokaz ni subjektivna kategorija, temveč družbeni konstrukt; če ga znanstvena skupnost ne razume, potem to pač ni dokaz.«
Matematična javnost se je torej znašla v neprijetni situaciji: v zraku visi dokaz izjemno pomembne domneve, s katerim se nihče ne zna ustrezno spoprijeti. Čeprav je Mochizuki z načinom svojega razkritja prekršil številna nenapisana pravila, so njegovi članki zdaj na mizi in dostopni vsakomur. Jih bo kdo pripravljen – in zmožen – resno ovrednotiti? Obeti so slabi. Profesor Szpiro je v tem trenutku edini učenjak, ki trdi, da razume nekatere pomembne segmente dokaza, a velike slike vseeno še ni uzrl. Mnogi stavijo na Mochizukijevega kolega z univerze v Kyotu, Goja Yamashito, ki dokaz proučuje pod Mochizukijevim mentorstvom. Novembra bo na oxfordski konferenci, posvečeni domnevi, poskusil s kolegi deliti svoje razumevanje rešitve.
Mochizuki po drugi strani še naprej zavrača povabila medijev in prestižnih tujih univerz. Mnogi se sprašujejo, ali se sploh zaveda histerije, ki jo je povzročil. Njegova spletna stran namiguje drugače. Na njej nam najprej razloži, da pravzaprav ni matematik, temveč »inter-univerzalni geometer«, v obrazložitev tega naziva pa prilaga še tisoče in tisoče strani begajočih »inter-univerzalnih« razprav, ki jih nihče na svetu ne zna prebrati. Na teh straneh nas morda čaka odkritje, ki bo zaznamovalo matematiko našega časa. A za zdaj Mochizukijevi koraki ostajajo neizsledljivi. Kamorkoli potuje, potuje sam.
* povzeto po Caroline Chen, Paradox of Proof, portal Project Wordsworth